我叫酋酋，酋长的酋，酋长的酋

22 May 2017 - less than 1 minute read

酋酋是朋友在路边发现的，一伸手就凑了过来。阴差阳错地，它就成为了我家的新主人。

照片是朋友带她出去玩时拍的，对了，她是她。

因为长得黑，所以是酋长，所以叫酋酋……

VAO 和 VBO

19 May 2017 - 4 minute read

OpenGL 中有两个对象一直傻傻分不清楚，一个叫 VertexArrayObject (VAO) ，另一个叫 VertexBufferObject (VBO) 。

在现代的绘制管线中，一般要把顶点数据整块传递给图形硬件，而不是采用老旧的逐条命令指定顶点数据的方式。这种方式下，我们会建立一块内存来存储顶点数据，然后将它传递给一个 VertexBufferObject 。也就是说 VBO 做的是下面的事情（伪代码）：

Vertex vertices[n_vertices]; // VBO

而将若干个 VBO 的信息集合在一起，方便在绘制时一次性调用的，则是 VAO 。例如可以在 VAO 中预先将顶点位置、法向等 VBO 分别绑定好。用伪代码表示就是：

struct Geometries {
    Vertex *vertices;
    Normal *normals;
    // …
};
Geometries g; // VAO
g.vertices = vertices; // bind VBO to VAO (via glVertexAttribPointer)

可以发现，VBO 表示的是具体的数据，VAO 则是这些数据对象的集合容器。类似的，Texture/RenderBuffer 是具体的数据，FBO 则是若干 Texture/RenderBuffer 的集合。如这篇文章¹ 中介绍的，OpenGL 对这两类对象进行了划分，表示具体数据的可以称为 Regular Objects，而代表 Regular Objects 集合的则对应 Container Objects 。

What are Binding Points in OpenGL? ↩

微分方程与能量守恒（三）

11 May 2017 - 4 minute read

在计算增量时，如果 $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$ 都来自新一时刻的估计，我们就得到了后向欧拉法（Backward Euler）。根据我们前两篇文章的内容，很容易猜测后向欧拉法会使得系统能量稳定或者减小。

后向欧拉法的形式是这样的：

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_{t+\Delta t} \\ \dot{x}_{t+\Delta t} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x_{t} \\ \dot{x}_{t} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & \Delta t \\ -K\Delta t & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{t+\Delta t} \\ \dot{x}_{t+\Delta t} \end{pmatrix} \\ \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -\Delta t \\ K\Delta t & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{t+\Delta t} \\ \dot{x}_{t+\Delta t} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x_{t} \\ \dot{x}_{t} \end{pmatrix} \end{aligned}\]

此时新一时刻的状态向量需要满足已知旧时刻时的线性方程，通过求解这一线性方程得到新一时刻的状态。

可以见到，这一线性方程的系数矩阵与前向欧拉法的递推矩阵相同，但由于求解方程对应于求它的逆，这使得结果的能量被缩小。

在复杂/非线性场景下的微分方程比我们这里的单个线性弹簧问题要复杂很多，我们关于能量守恒的讨论需要更加精确地刻画。我们先在这里告一段落，更复杂的内容以后有机会再介绍。

Cat-Oriented Programming

10 May 2017 - less than 1 minute read

——通过命令使设备以预期相反的方式工作的一种编程范式。

微分方程与能量守恒（二）

09 May 2017 - 7 minute read

在前向欧拉法中，我们用了旧的 $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$ 作为增量计算新的 $x$ 和 $\dot{x}$ 。但在这段时间中，$\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$ 其实是变化的。我们不妨用旧的 $\ddot{x}$ 计算新的 $\dot{x}$，并用新的 $\dot{x}$ 计算新的 $x$。这样一来，一个信息来自旧的时间点，一个信息来自新的时间点，是不是能把这段时间内的偏差平均掉呢？

根据这一思路，我们采用下面的迭代方法：

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_{t+\Delta t} \\ \dot{x}_{t+\Delta t} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -K\Delta t & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_t \\ \dot{x}_t\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \Delta t \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{t+\Delta t} \\ \dot{x}_{t+\Delta t} \end{pmatrix}\\ \Rightarrow \begin{pmatrix} x_{t+\Delta t} \\ \dot{x}_{t+\Delta t} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1-K\Delta t^2 & \Delta t \\ -K\Delta t & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_t \\ \dot{x}_t\end{pmatrix} = M_S \begin{pmatrix}x_t \\ \dot{x}_t\end{pmatrix} \end{aligned}\]

通过计算 $M_S$ 的特征值，我们会发现：

当 $\Delta t > \frac{2}{\sqrt{K}}$ 时，它有两个实特征值并且特征值绝对值大于 1 。
当 $\Delta t \leq \frac{2}{\sqrt{K}}$ 时，它有两个复特征值（等号时虚部为 0）并且模长恰好为 1 。

也就是说，在第一个条件下，我们重复迭代上述系统依旧会得到发散的解，能量不守恒。而在第二个条件下，系统达到了能量守恒。

这一方法被称为半隐式欧拉法（Semi-Implicit Euler），它在一定条件下满足能量守恒。

再观察满足能量守恒的条件：

\[\Delta t \leq \frac{2}{\sqrt{K}} = \sqrt{\frac{4m}{k}}.\]

$m$ 是质点的质量，我们知道：质量越大，惯性越大，意味着震动的周期越长。相对的，$k$ 是弹簧的刚度；刚度越大，弹簧弹力越大，震动的周期越短。上面的条件实际上是要求我们的模拟周期小于某个采样周期，从而保证采样的信息不发生失真。

未完待续。

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